小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用

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[小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用] 小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用 　　原文来源：小学奥数辅导网 http://www.aoshufudao.com 　　排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码?又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法?回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.(前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.) 　　当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理;即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题?若能，再判断是属于排列问题还是组合问题?②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握. 　　例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法? 　　分析 首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 　　解： 符合要求的选法可分三类： 　　不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3=15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2=10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2=6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 　　因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15+10+ 6=31种. 　　注 运用两个基本原理时要注意： 　　①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 　　不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 　　不同步的方法(全程分成几个阶段(步)，其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. 　　②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. 　　③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 　　例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 　　分析 要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式解： 　　由此可知，排列共有如下八种： 　　正正正、正正反、正反正、正反反、 　　反正正、反正反、反反正、反反反. 　　例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数. 　　分析 此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法. 　　解法1：分析 某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置. 　　解： 分两步完成： 　　第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法. 　　第二步：从余下的9个数(包括数字0)中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法. 　　由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个. 　　答：可组成4536个无重复数字的四位数. 　　解法2：分析 对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一. 　　解： 组成的四位数分为两类： 　　第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个. 　　第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，(让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种)第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个. 　　∴由加法原理，共有满足条件的四位数 　　3024+1512=4536个. 　　解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数(称为排除法).此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列. 　　解： 从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个(0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个) 　　∴共有满足条件的四位数 　　10×9×8×7-9×8×7 　　=9×8×7×(10-1) 　　=4536个. 　　注 用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏. 更多》》……  

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