高中数学平面向量知识点归纳和测试题

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必修四 第二章 平面向量

1.在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD（ ） A．

21bc 33

B．c

5

32b 3

C．

21bc 33

D．b

1

32c 3

2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3),则BD（ ） A． （－2，－4）

B．（－3，－5） C．（3，5）

D．（2，4）

3设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC2BD,CE2EA,AF2FB,则

ADBECF与BC( )

A.反向平行

.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

4.关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：

，k)，b(2，6)，a∥b，则k3． ①若ab=ac，则bc．②若a(1

③非零向量a和b满足|a||b||ab|，则a与ab的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

的值为() 5.若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段PP12所成的比

A －

1

3

B －

1 5

C

1 5

D

1 3

( )

D．2

( )

→→→

6．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则a＋b＋c的模等于

A．0

B．22

2

7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于

A．－4

B．4

12

C5

125

( )

8．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于

13A．－＋22

13－b 22

31C.a－b 22

31D．－a

22

( )

9．与向量a＝(13)的夹角为30°的单位向量是

13

A．(，或(1，3)

22

B．(

31

) C．(0,1) 22

D．(0,1)或

3122( )

11

10．设向量a＝(1,0)，b＝()，则下列结论中正确的是

22

A．|a|＝|b|

B．a·b＝

2

2

C．a－b与b垂直 D．a∥b

11．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物

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现加上一个力f4，则f4等于 A．(－1，－2)

( ) D．(1,2)

B．(1，－2) C．(－1,2)

12.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0,则c的最大值( )

A.1 B.2 C.2 D.

2

2

ba·b＝ . 13.若向量a、b满足ab1,a与b的夹角为120°，则a·

14.如图，平面内有三个向量OA、、,其中OA与的夹角为120°，OA与的夹角为30°,且|OA|＝||＝1，||＝2，若＝λOA+μλ，μ∈R）,则λ+μ的值为.

aa

c=a-bab0ab，则向量a与c的夹角为（ ） 15．若向量与不共线，，且

ab

A．0

B．

π

6

C．

π 3

D．

π 2

16．若函数yf(x)的图象按向量a平移后，得到函数yf(x1)2的图象，则向量a=（ ）

，2) A．(1，2) B．(1，2) C．(1，2) D．(1

3)，a在b

上的投影为17．设a(4，

，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为（ ） 2

C．2

14) A．(2，

B．2，



2 727

8) D．(2，

18．设两个向量a(2，2cos2)和bmsin，其中，m，为实数．若a2b，则





m2





8] 的取值范围是（ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[4，

m

Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]

19．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若



AB2ij,AC3ikj，则k的可能值个数是（）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3

Ｄ．4

→→

20．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC的形状为

A．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形

B．等边三角形

( )

D．等腰直角三角形

( )

21．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是

10

，＋∞ A.3

10

 B.3

10

－∞， C.3

10

－∞， D.3

22．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

23．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________. 24．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________． 25．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b与a－kb垂直，则k＝（ ） （A） 12（B）













21（C） 23（D） 32

课堂小测

1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点

F．若ACa，BDb，则AF（ ）

A．

11ab 42

B．

21

ab 33

C．

11

ab 24

D．a

1

32b 3

2.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2ACCB0，则OC（ ） A．2OAOB

B．OA2OB

C．

21

OAOB 33

D．OA

1

32

OB 3

xππ

2平移，则平移后所得图象的解析式为（） 3．将y2cos的图象按向量a364xπxπ

Ａ．y2cos2 Ｂ．y2cos2

3434xπ

Ｃ．y2cos2

312

xπ

Ｄ．y2cos2

312

CD4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，

A．

1

CACB，则（ ） 3

2 3

B．

1 3

C．

1 3

D．

2 3

5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于

A．6

( )

B．5 C．4 D．3

6．已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．

(1)若|c|＝25，且c∥a，求c； (2)若|b|＝

7．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时：

(1)c∥d；(2)c⊥d.

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →→→

(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．

，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角． 2

→→→→→→→→→

9．已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.

求证：△P1P2P3是正三角形．

10．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：

(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.

1

解7 由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.

2

9

(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k5

29

(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.

14→→→→→→

解8 (1)AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB＋AC|与|AB－AC|的大小． →→→→→→→→

由AB＋AC＝(2,6)，得|AB＋AC|＝210， 由AB－AC＝(4,4)，得|AB－AC|＝42. →→→→→→→(2)OC＝(－2，－1)， ∵(AB－tOC)·OC＝AB·OC－tOC2， 11→→→→→→易求AB·OC＝－11，OC2＝5， ∴由(AB－tOC)·OC＝0得t＝－.

5

→→→→→→→→→

证明9 ∵OP1＋OP2＋OP3＝0，∴OP1＋OP2＝－OP3，∴(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，

→→

1OP·OP1→2→2→→→2→→

∴|OP1|＋|OP2|＋2OP1·OP2＝|OP3|， ∴OP1·OP2＝－，cos∠P1OP2＝，

22→→

|OP1|·|OP2|→→→

∴∠P1OP2＝120°.∴|P1P2|＝|OP2－OP1|＝

→→

OP2－OP12＝

→→→→OP12＋OP22－2OP1·OP2＝3.

→→

同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝故△P1P2P3是等边三角形．

证明10 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． →→→

(1)BE＝OE－OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， →→→

CF＝OF－OC＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， →→∵BE·CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， →→

∴BE⊥CF，即BE⊥CF.

→→

(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，

→→→→

∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2. 686868→→→→

. ∴AP2＝2＋2＝4＝AB2，∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB. 解得x＝，∴y＝，即P555555

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